3.2; Un metro cuadrado

Si el cuadrado naranja, tiene 1 metro cuadrado de área, ¿cuál será la del cuadrado azul?

3.1: Criptoaritmética

Empezamos los desafíos para el tercer trimestre con un ejercicio en el que debéis descubrir el valor de cada letra para que la operación tenga sentido. No quiero solo el valor de las letras sino una explicación de cómo lo has deducido.

Han llegado 14 soluciones esta vez. La de Sergio es una de ellas:

2.12: Gripe

En una epidemia de gripe hace tres días tenía gripe el 10% de la población y estaba sana el 90% restante. En los tres últimos días, el 10% de los sanos cogió la gripe y el 10% de los que estaban enfermos se curó.

¿Qué porcentaje de la población está ahora sana?

2.11: Iván el perezoso

Según un antiguo cuento ruso, Iván "el perezoso" se hallaba un día holgazaneando a orillas de un río.

- Todo el mundo me dice que me busque trabajo o que me vaya al diablo - suspiró -. No creo que ninguna de las dos cosas me ayude a hacerme rico.

Tan pronto como dijo esto se le apareció el diablo en persona.

-¿Quieres ganar dinero Iván?- le preguntó.

Iván asintió perezosamente con la cabeza.

- Muy bien - continuó el diablo -. ¿Ves ese puente? Pues todo lo que tienes que hacer es cruzarlo. Cada vez que vayas de parte a parte se doblará el valor del dinero que llevas en el bolsillo. A Iván le gustó la propuesta, y ya se dirigía hacia el puente, cuando el diablo lo detuvo.

- Un momento - le dijo astutamente- . Puesto que me he mostrado tan generoso contigo, creo que merezco una pequeña recompensa por mis esfuerzos. Tendrás que darme ocho rublos cada vez que cruces el puente.

Iván se apresuró a asentir. Cruzó el puente y metió la mano en el bolsillo. Su dinero se había doblado por arte de magia. Le lanzó ocho rublos al diablo, que permanecía al otro lado del río, y cruzó de nuevo. Otra vez dobló su dinero. Le pagó otros ocho rublos al diablo y cruzó por tercera vez. Y el dinero se dobló de nuevo. Pero al contarlo, descubrió que no le quedaban más que ocho rublos en el bolsillo, que tuvo que entregar al diablo, con lo cual se quedó sin dinero que doblar. El diablo soltó una sonora carcajada y desapareció.


¿Sabrías averiguar cuánto dinero tenía Iván en el bolsillo cuando hizo el pacto con el diablo?

Si hubiese tenido 1 rublo más en el bolsillo,

¿cuánto dinero hubiera conseguido tras pasar el puente 100 veces?

2.10: Tres cuadriláteros

En el desafío de esta semana te propongo que investigues un poco con la ayuda de Geogebra. Ya sabes que puedes utilizar Geogebra desde tu equipo si lo tienes descargado o también desde la aplicación on-line a la que puedes acceder desde este enlace.

En primer lugar vamos a ir a Vista y en la opción etiquetado, seleccionar la opción “Solo puntos nuevos”.

Con la herramienta Polígono regular dibuja un cuadrado. A continuación dibuja otro cuadrado con la misma herramienta de manera que tenga un vértice común con el cuadrado anterior.

Usando la herramienta Punto medio o Centro encuentra el centro de cada uno de los cuadrados y el punto medio de los segmentos que unen los vértices como indica la figura.

Con la herramienta Polígono, forma el cuadrilátero HKIJ. 

Mueve los puntos B, A y E, y observa. ¿Puedes decir algo de ese cuadrilátero?

Con la herramienta Área, puedes medir la superficie de esos cuadriláteros. 

¿Crees que en alguna posición los tres medirán lo mismo? 

Si es que sí, encuéntrala y explica cómo habría que ponerlos. Si es que no, intenta dar una explicación.

Nota: Puedes enviar una captura de pantalla y la explicación por correo electrónico.

2.9: ¿Cuánto suman?

¿Cuánto suman todos los números que puedes formar con las cifras 1,2,3,4,5, sin repetir ninguna?

¿Te atreves a generalizar el resultado para más cifras?

Como verás nada más que te pongas a pensar un poco en el problema, se pueden formar muchos números de cinco cifras sin que se repitan las cifras, con las cinco primeras. Concretamente 120. No es plan, escribir todos y sumarlos, habrá que pensar una estrategia para llegar al resultado final.
Una forma de abordar un problema que parece complicado es intentar empezar por casos más sencillos.
Empieza preguntándote cuanto sumarán todos los números de dos cifras escritos con las cifras 1 y 2, sin repetir. Luego pasa al caso de números de tres cifras, con el 1, 2 3. El siguiente salto, a los números de 4 cifras con 1,2,3 y 4, te tiene que dar pistas para calcular la suma que se pide al principio del problema. Y de ahí, si has encontrado una pauta, podrás generalizar.

SOLUCIONES

En esta de Lorena, se va haciendo la suma "con llevadas"

Mientras que Alicia se ha dado cuenta que las sumas en los casos más sencillos van saliendo múltiplos de 11 en el caso de 2 cifras, 111 en el de 3, 1111 en el de 4...

2.8: ¿Alineados?

2.7: Calculadora rota

Se nos ha roto alguna tecla de la calculadora y tenemos que realizar ciertos cálculos. ¿Cómo se te ocurre que se podría hacer alguno de los siguientes?

Escribe para cada caso que resuelvas, la secuencia de teclas que te ha permitido llegar al resultado.

Sin tecla de sumar:   356 + 123 =

Sin tecla de restar:    356 - 123 =

Sin tecla de multiplicar:  
                       72 x 13 =          289 x 99 =               82 x 75 =

Sin tecla de dividir:  825 : 34 =

Puedes jugar con esta aplicación con calculadoras a las que les faltan teclas:

2.6: Polígonos estrellados

La semana del 8 al 12 de febrero se va a desarrollar en nuestro centro la Semana Matemática de este curso. Entre otras actividades, en los recreos se van a decorar dos láminas para cubrir unos ventanales de la biblioteca. Para decorarlas se va a utilizar la técnica de los hiloramas que se usó el curso pasado y que se puede ver en la cristalera de la entrada.

 En ellas se trabajó con hipérbolas y este año vamos a usar polígonos estrellados. ¿Qué es eso?
Mira este applet de Geogebra e investiga con él.

Se divide la circunferencia en tantas partes como indica el primer deslizador (Vértices). Luego se elige como enlazar los puntos, cada dos, cada tres, etc (Pasos). Verás que salen polígonos de un solo color o de varios. Investiga qué significa eso, y trata de encontrar qué relación tiene que haber entre el número de vértices y el paso para que salgan polígonos de un solo color.



Realiza en una hoja un diseño con colores, utilizando uno o varios polígonos estrellados (por ejemplo, uno dentro de otro), con el que podríamos decorar esos paneles de la biblioteca. Los mejores serán los que se monten durante la semana matemática y adornarán la biblioteca. Se pondrá el nombre de los autores.

2.5: Fotografía Matemática

Os pasé hace poco por Classroom la convocatoria del concurso de Fotografía Matemática del IES Andalán de Zaragoza.

Esta semana el desafío va a ir de fotos. Una fotografía matemática es una foto, acompañada de un título, que refleje algún aspecto que tenga que ver con las matemáticas.




Existen muchas páginas sobre fotografía y matemáticas. En la página del departamento de Matemáticas de nuestro instituto se recogen un montón de fotos realizadas en cursos anteriores. También puedes ver más ejemplos en la página Divulgamat que publica la Real Sociedad Matemática Española.

Algunas de las fotos que han ganado este concurso son estas.

 

Y entre ellas hay una que ganó una alumna de nuestro centro hace ya unos años:

El desafío de esta semana consiste en que me envíes por correo electrónico, al menos dos fotografías matemáticas. El nombre del archivo será el título de la foto (no las envíes en word, sino como  archivos adjuntos de formato jpg).
Como sugerencia puedes hacer fotos  en los que aparezcan polígonos, cónicas, cuerpos geométricos, sucesiones de objetos, de números, la idea del infinito (pero no las vías del tren), objetos en la naturaleza, en las construcciones, arquitectura, simetrías, giros, traslaciones, ángulos, gráficos, curvas, espirales, etc.

Sugerencias:
Cuida el encuadre, como incide la luz, qué zona del objeto quieres enfocar, etc.  No tires la foto sin pensarla. ¡Y puedes hacer más de una hasta que encuentres alguna qu te gusta!